无穷小（infinitesimal）

无穷小是这样一种直觉：一个量要多小有多小，却又不真的等于零——比你能说出的任何普通正数都小，但仍以某种方式存在着。早期微积分正是靠这幅图景运转的：曲线由无穷多段无穷短的直线拼成，面积是无穷多片无穷薄切片的堆叠。dy/dx 和积分式中的 dx，就是这一想法留下的化石。

牛顿与莱布尼茨在 1600 年代末用这种「小到几乎消失」的量发明了微积分，方法效果惊人。但它立足于摇晃的逻辑：在同一次计算里，无穷小一会儿要表现得像非零数（好让你能除以它），一会儿又要像零（好让你能把它丢弃）。批评者——最著名的是贝克莱主教——讥讽这些是「逝去之量的幽灵」。最终的严格修补由柯西与魏尔斯特拉斯在 1800 年代完成，他们用极限取代了无穷小：你不再研究一个真正无穷小的数，而是研究当一个量收缩趋向零时它逼近什么。

所以在标准的现代微积分里，实数轴上并不存在「无穷小数」——它是一种被极限精确化的引导性直觉，而不是一个可以用来运算的对象。不过为了诚实，得补一条注脚：1960 年代亚伯拉罕·鲁滨逊建立了非标准分析，那是一套确实包含真正无穷小的严格体系。它在逻辑上是站得住脚的，但属于专门领域；以极限为基础的进路，仍是几乎处处教授和使用的标准根基。