微分方程（differential equation）

普通方程问的是“什么数能让它成立？”微分方程问的则更深一层：“什么函数会这样变化？”假设你知道一个种群越大、增长得越快——它在任一时刻的增长率，等于某个常数乘以它当前的规模。别人没有把种群本身交给你，交给你的是它如何变化的一条规则。微分方程陈述的正是这样一条规则，而解它，就意味着找出服从这条规则的那个函数。

具体来说，微分方程把一个函数和它自己的导数联系起来。一个经典例子是 dy/dt = k y，意思是 y 的变化率与 y 本身成正比。它的解是指数函数 y = C e^(kt)，其中 C 由某个初始条件确定，比如起始值 y(0)。这里的未知量不是一个数，而是一整个函数；在额外条件把它钉死之前，通常存在一族解。

微分方程是描述变化的母语，它刻画的世界范围极广：冷却的咖啡、放射性衰变、振动的桥梁、蔓延的疫情、电路、行星轨道，乃至金融中的期权定价。大多数现实中的微分方程都无法用一个漂亮的公式解出，因此许多科学与工程领域都依赖用计算机对它们的解作数值逼近。