原函数（antiderivative）

原函数回答的是一个反过来的问题。导数告诉你一个函数的斜率或变化率；原函数则从变化率出发，反问：「是哪个函数的变化率长这样？」如果你的速度表在每一刻都显示某个速度，那么原函数就是这趟旅程本身——以那些速度行驶后你所处的位置。你是在「撤销」求导，把机器倒着运转。

严格地说，函数 f 的原函数是一个函数 F，它的导数恰好是 f：也就是在某个区间上，对每个 x 都有 F'(x) = f(x)。例如 F(x) = x^2 是 f(x) = 2x 的一个原函数，因为 x^2 的导数是 2x。同样地，x^2 + 1、x^2 + 7、x^2 - 100 也都是——加上任何常数都不改变斜率，因为常数的导数是 0。所以一个函数的原函数是一整族，彼此只相差一个常数。

那个多出来的常数并不是麻烦，它老老实实地道出一个事实：单凭变化率无法告诉你从哪里出发。知道你开得多快，并不能透露你是从哪座城市出发的。我们把这一族写成 F(x) + C，其中 C 是「积分常数」，只有再给一个额外的事实——一个初始值——才能定下 C。求原函数确实比求导更难：每个初等函数都能按法则求导，但有些函数，比如 e^(-x^2)，根本没有能用初等函数写出来的原函数。