微积分基本定理（fundamental theorem of calculus）

微积分基本定理揭示了一个发现：微积分的两大运算——求变化率（求导）与求总量（积分）——彼此恰好是逆运算，就像乘法与除法一样。它说，把无穷多个微小变化加起来，就还原成净变化；而一个变化率的「累计总和」，自身正以那个变化率在增长。这就是那座桥，它把微积分从两门分立的学问合并成了一门。

它有两部分。第一部分：如果你用一个累积的积分来定义函数，A(x) = integral from a to x f(t) dt，那么它的导数恰好就是被积函数：A'(x) = f(x)。对累计总和求导，又交还了变化率。第二部分（求值部分）：如果 F 是 f 的任意一个原函数，那么 integral from a to b f(x) dx = F(b) - F(a)。你计算总量的办法，是撤销一次求导，再把两个端点的值相减。

它为何具有革命性：定积分本是定义为黎曼和的极限——一个看上去无法用手算完成的无穷过程。第二部分说，你根本不必去算。与其把无穷多个薄片相加，不如找一个原函数，做一次减法。几个世纪以来分别对切线和对面积所做的工作，原来是同一台机器的两个视角；这一统一由牛顿与莱布尼茨在十七世纪末系统化，正是它开启了现代科学与工程。