定积分（definite integral）

定积分是当你把一个变化的量沿着一段区间扫过时所累积出来的总量。如果一个函数告诉你每一瞬间水流入水箱的速率，那么它在一小时上的定积分就告诉你这一小时里共注入了多少水。它是一个单独的数——总账——从无穷多个无穷小的贡献中挤压出来。

严格地说，f 从 a 到 b 的定积分，记作 integral from a to b f(x) dx，定义为当切片变得无限薄时黎曼和的极限：integral from a to b f(x) dx = lim (n -> infinity) sum f(x_i) dx，其中 dx -> 0。它并不被定义为「曲线下的面积」——那只是最简单情形下的图像。当 f 落到 x 轴下方时，它的贡献记为负，所以积分度量的是带符号的净累积量：轴上方的面积减去轴下方的面积。如果 f 在整段区间上都在轴上方，那么积分确实等于几何面积，这也是为什么面积的图像常被最先讲到。

结果是一个纯粹的数，只取决于 f 与两个端点 a、b——变量 x 是「哑变量」，所以 integral from a to b f(x) dx 与 integral from a to b f(t) dt 含义完全相同。神奇之处在于，你几乎从不直接去算这个极限：微积分基本定理让你找一个原函数 F，然后简单地相减，F(b) - F(a)。这条捷径把一个看似无望的无穷求和，变成了一次减法。