曲线间的面积（area between curves）

求两条曲线之间的面积，是积分头一回不再是抽象练习、而开始度量真实区域的地方。想象地图上一条蜿蜒的河与一条公路之间夹着的那条狭长地带：要算它的面积，你设想把它切成无数细长的竖条，每条的高度就是该处上边界与下边界之间的间距。

每条细带的面积是（上 - 下）乘以它微小的宽度 dx，积分则把它们全加起来：面积 = integral from a to b of (top(x) - bottom(x)) dx，其中 a 与 b 是两曲线相交之处，或你选择停下的地方。例如在 y = x 与 y = x^2 之间从 0 到 1，直线 x 位于抛物线 x^2 之上，所以面积是 integral from 0 to 1 of (x - x^2) dx = 1/2 - 1/3 = 1/6。因为你始终用上减下，结果是一块货真价实的正面积，哪怕两条曲线都落到 x 轴下方亦然。

这套「切片再相加」的招法，是通往积分其余各种应用的门户。把一块区域绕轴旋转，同样的细条就变成薄圆盘或薄壳，给你旋转体的体积。把这想法再推广，你就得到弧长、曲面面积、函数的平均值、变力所做的功，以及质心——它们全都不过是巧妙地选定「每个薄片在积分前贡献什么量」而已。