多重积分（multiple integral）

单重积分把曲线下一条条细窄的长条加起来，得到面积。多重积分在更高维度里玩同样的把戏。想象一顶凹凸不平的帐篷支在一块矩形场地上：要算出帐篷下封住的空气体积，你把场地切成一个个瓷砖大小的小方块，用每块的面积乘以它正上方帐篷的高度，再把这些小盒子全加起来。这个总和就是二重积分——在一片区域上、而非沿一条线上的累积。

对于区域 R 上的函数 f(x, y)，二重积分写作 ∫∫_R f(x, y) dA，它的严格定义与单重积分一样：当小方块缩向零时黎曼和的极限。实际计算时，通常把它当作累次积分来求，一次只对一个变量积分：∫ 从 c 到 d ( ∫ 从 a 到 b f(x, y) dx ) dy。三重积分 ∫∫∫ f dV 把这一套推广到三维实心区域。

多重积分是我们累加任何遍布于空间中的量的方式：曲面下的体积、由密度求出的物体质量、某区域内的总电荷、某片面积上的平均值，或者质心。积分次序可以互换（对性状良好的函数，由富比尼定理保证），而巧妙地选择次序——或改用极坐标、球坐标——常能把一个看似无从下手的积分变成例行公事。