黎曼和（Riemann sum）

黎曼和是你在还不知道任何巧妙捷径之前，测量曲线下方面积的办法：你用一排细长的矩形铺满那块区域，算出每个矩形的面积（不过就是宽乘高），再把它们加起来。曲线是弯的，矩形永远贴不严——但你切得越细，剩下那点误差的边角料就越无关紧要。这跟在地图上铺一张方格网、数格子来估计湖面面积是同一个直觉。

严格地说，要近似函数 f 在从 a 到 b 这段区间上的累积量，你把区间切成 n 个小段，每段宽 dx（常写作 delta-x），在每一段里挑一个取样点 x_i，再作和 f(x_1)dx + f(x_2)dx + ... + f(x_n)dx，记作 sum f(x_i) dx。高度 f(x_i) 可以取在每段的左端（左黎曼和）、右端（右黎曼和）或中点（中点和）——选法不同，但当切片缩小时都收敛到同一个值。

黎曼和是定积分背后的脚手架，而不只是个粗略估计。定积分的定义，正是当切片宽度 dx 趋于 0、切片数量无限增多时这些和的极限。所以当矩形变得无限薄，近似就不再是近似，而成为精确值。要注意 f(x_i) 可以是负的，这时它对应的矩形算作负面积——黎曼和追踪的是带符号的净累积量，而不只是几何面积。