切线（tangent line）

想象一颗弹珠沿着弯碗的内壁滚动。在任何一瞬间，它前进的方向都是一条直线——这条直线刚好在那一点擦过曲线，并指向曲线在那里前进的方向。这条擦过的直线就是切线。凑近看，如果你把一条光滑曲线放大得足够大，它就完全不再像弯的，而像一条直线；切线正是那条直线。

在 x = a 这一点处，切线经过点 (a, f(a))，斜率等于导数 f'(a)。所以它的方程是 y = f(a) + f'(a)(x - a)。这是曲线在该处的局部最佳线性拟合：在所有经过这一点的直线中，切线是当你挪开极小一步时最贴合曲线的那一条。导数提供斜率，点提供这条线落在何处。

一个常见的误解是：切线与曲线只在一点相切，或永远不穿过曲线。这两点都不可靠。切线可以恰好在切点处穿过曲线（想想拐点），同一条线也可能在一处相切、却在别处完全切穿曲线。决定切线的，是它在那一点处与曲线斜率相同——而不是这条线总共与曲线相遇几次。