线性近似（linear approximation）

离任何一条光滑曲线足够近地看，它都显得是直的——就像地球是圆的，可地平线看上去却是平的。线性近似正是利用了这一点：在一个你了如指掌的点附近，用切线替换掉那条繁杂的曲线，改从直线上读取数值。想估算 sqrt(4.1)？你早已确切知道 sqrt(4) = 2，于是沿切线稍稍挪动一点，不用计算器就能得到相当好的答案。

公式就是 x = a 处切线的方程：当 x 靠近 a 时，f(x) ~ f(a) + f'(a)(x - a)。已知值 f(a) 是你的锚点，而 f'(a) 是斜率，告诉你每离开一步、输出变化有多快。同样的想法用微分可写得很紧凑：dy = f'(x) dx，其中 dx 是输入的微小变化，dy 是由此得到的、对输出变化的直线估计，是真实 y 变化量的一个近似。

诚实的提醒是：这只是估计，只有在锚点附近才最准。x 离 a 越远，真实曲线就越偏离切线，误差也随之增大。增长有多快，取决于曲率——也就是二阶导数 f''。对 sqrt(4.1)，这个估计极好；可若从 a = 4 出发去估 sqrt(9)，那就毫无希望了。线性近似是牛顿法、误差分析的基础，也是每个泰勒级数的第一项。