泰勒级数（Taylor series）

泰勒级数把一个函数重建为一个无穷多项式，只用你在某一个点处关于这个函数所知道的信息：它在那里的值、斜率、斜率如何弯曲，等等。想象你站在曲线上的某一点，仅凭脚下能测到的高度、倾斜以及各阶弯曲程度，就把整条曲线重新搭出来。

以点 a 为中心，f 的泰勒级数是 f(a) + f'(a)*(x - a) + f''(a)/2!*(x - a)^2 + f'''(a)/3!*(x - a)^3 + ...，每一项多用一阶导数。分母上的阶乘把高次项压住。当中心取 a = 0 时它有专门的名字，叫麦克劳林级数。著名的几个是 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...，sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...，以及 cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...。

泰勒级数是微积分把杂乱函数变得可计算的途径，也是它为近似法提供依据的方式：在前几项之后把级数截断，就得到一个在中心附近紧贴函数的多项式。但有两点诚实的提醒——级数只在它收敛之处等于函数，而且少数反常的函数，其泰勒级数会收敛到错误的东西，所以等号必须验证，而不能想当然。