幂级数（power series）

幂级数就像一个没有尽头的多项式：它不在 x^2 或 x^3 处停下，而是永远继续，用越来越高次的 x 的幂，每一项配上自己的系数。你可以把它想成一份配方，用无穷多个简单的多项式零件、一层叠一层地搭出一个函数。

它的形式是 sum c_n*x^n = c_0 + c_1*x + c_2*x^2 + c_3*x^3 + ...，其中 c_n 是固定的数。对给定的 x，这不过是一列数构成的无穷级数，于是我们要问它是否收敛。通常它在距中心某个距离 R 之内的所有 x 处收敛、在此之外发散；R 称为收敛半径。所以幂级数在一个区间上（常常是 (-R, R)）定义了一个函数，端点需要单独检验。

幂级数之所以重要，是因为在它的收敛区间内，它的表现几乎和多项式一样——可以逐项求导和积分——却能表示远为丰富的函数。这正是计算器和电脑能算出 e^x 或 sin(x) 之类的原因：它们把一个幂级数的前若干项相加，加到所需的精度为止。