几何级数（geometric series）

几何级数把这样一列数加起来：每个数都是前一个数乘上同一个固定倍率。先取某个量，然后不断取你手头量的同一个比例：皮球每次弹起都达到上一次高度的同一百分比，或药物每隔几小时在体内减半。如果这个倍率让各项缩小，累加总和就会停在一个有限的值。

它的形式是 a + a*r + a*r^2 + a*r^3 + ...，其中 a 是首项，r 是公比。当 |r| < 1 时级数收敛，并有干净的闭式和：a + a*r + a*r^2 + ... = a/(1 - r)。当 |r| >= 1 时各项不向 0 缩小，级数发散。部分和公式 a*(1 - r^n)/(1 - r) 把这一点说得很透：当 n -> infinity 时，恰好在 |r| < 1 的情形下 r^n -> 0。

几何级数是无穷和收敛于有限值的最干净的例子，也是许多结论背后的主力。循环小数 0.999... 就是几何级数 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...，它的和恰好是 1——这正是为什么 0.999... 与 1 是同一个数，而不仅仅是很接近。