无穷级数（infinite series）

无穷级数，就是你试图把无穷多个数一个接一个、永远加下去时所得到的东西。听起来根本加不完，但有时这个累加的总和会越来越靠近一个固定的数。先走到墙的一半，再走剩下一半的一半，再走一半——你永远不会一步走到，但你走过的这些距离加起来正好是整段路。

写出来，级数就是 sum a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...，由一列项 a_n 构成。要给它赋值，我们看部分和：S_1 = a_1，S_2 = a_1 + a_2，S_3 = a_1 + a_2 + a_3，依此类推。这些部分和自己组成一个数列。如果当 n -> infinity 时 S_n 趋向某个有限极限 S，就说级数收敛，其和为 S。所以无穷和的值是被定义为它的部分和的极限，而不是真的一直加下去。

把无穷多个正数加起来仍可能得到有限的总和，这常让人吃惊。半距离级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 恰好加到 1。但它也可能失败：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 即使各项缩向 0，总和却无限增大，所以收敛性永远要去检验，绝不能想当然。