跳变处的收敛
假设你的信号突然跳变——开关一翻，方波从 -1 猛地跳到 +1。在那一瞬间函数有两个候选值，跳变前的那个和跳变后的那个，而傅里叶级数该报告哪一个（如果有的话）并不显然。干净利落的答案是本学科中最令人满意的事实之一：在跳变处，级数对两者都不理会，而收敛到它们正中间的那个值，即左极限与右极限的平均。
写出来就是：若在点 x 处左极限是 f(x-)、右极限是 f(x+)，那么在狄利克雷条件下，x 处的傅里叶级数收敛到 (f(x-) + f(x+))/2，无论 f 本身在 x 处如何（或是否）定义。在最简单的情形里你能看清原因：像方波那样的奇跳变完全由正弦项构成，而每个 sin(n pi x / L) 在跳变位置都为零，所以部分和在那里天然就坐在中点上。级数实际上是在选取它所能选的最对称、最无偏的值。
这之所以重要，是因为真实信号充满了棱边——通断脉冲、采样保持的数据、整流波形——你需要知道你的重建在那些棱边处究竟做了什么。中点规则告诉你：级数在间断处的值是一个确定的、可预测的数，不是噪声，也不是抛硬币。它也是吉布斯现象在概念上的伴侣：级数在跳变本身处收敛到中点，然而部分和却在紧挨两侧过冲，一旦你把'点处的极限'和'点附近逼近的形状'分开，这两个事实就完全相容了。
锯齿波 f(x) = x 在 (-pi, pi) 上、周期延拓，在 x = pi 处从 +pi 跌到 -pi。那里 f(x-) = pi、f(x+) = -pi，所以级数收敛到 (pi + (-pi))/2 = 0——函数值 pi 根本不是级数返回的东西。
把 f 在跳变处重新定义为它自己的中点，就让级数和函数在那里恰好一致。
中点值是部分和在跳变处的极限，而不是任何有限部分和在附近所显示的——跳变旁边的过冲，无论你加多少项，都大致保持在跳变高度的 9% 左右（吉布斯现象）。