亥维赛阶跃函数（Heaviside step function）

你如何用一个符号写下开关被拨动的那一刻——在某瞬间之前是关、此后永远是开？亥维赛阶跃函数正是这个理想化的开关：一个在负自变量为 0、正自变量为 1 的函数，在原点处从一个电平瞬间跳到另一个。

记作 H(x)（或 u(x)），定义为：x 小于 0 时 H(x) = 0，x 大于 0 时 H(x) = 1，跳跃点 x = 0 处的取值按约定选取（常取 1/2）。平移副本 H(x 减 a) 在 x = a 处开启，所以像 H(x 减 a) 减 H(x 减 b) 这样的组合，切出一个干净的矩形脉冲，只在 a 与 b 之间为 1——这是表达只在有限时间窗内作用的力、电压或源的标准方式。尽管 H 有跳跃因而在普通意义下不可微，在分布的语言中它的导数是狄拉克 delta：H 撇(x) = delta(x)，刻画了突然跳跃的瞬时速率是一个总量为单位的无穷尖峰这一思想。

阶跃函数是开关现象的日常词汇：它刻画 t = 0 接通的电路、突然施加于梁的载荷、在固定时刻给的药物剂量，或被骤然施加的边界条件。它在拉普拉斯变换中不可或缺，其中第二平移定理用 H 来处理在较晚时刻才开始的输入；它与狄拉克 delta 配对，作为广义函数基础处的积分-导数二人组。