狄拉克 delta 函数（Dirac delta function）
/ dih-RAK /
你如何刻画一个理想的瞬间——在零时间内倾尽全力的一记锤击、没有大小的质点、集中在单点的完美电荷火花？你想要某种在除一点之外处处为零、但总效果恰为 1 的东西。没有普通函数能做到这一点，于是物理学家引入了一种新对象：狄拉克 delta，记作 delta(x)，那个理想化的无穷高、无穷窄、面积为单位 1 的尖峰。
诚实地说，delta(x) 根本不是函数——它是广义函数，或称分布。它的意义完全在于它如何在积分内部起作用：对所有 x 求 delta(x) f(x) dx 的积分 = f(0)，更一般地 对 delta(x 减 a) f(x) dx 的积分 = f(a)。这个筛选性质——delta 伸进去把 f 在某一点的值挑出来——就是它的完整定义。你可以把它想象成越来越窄、越来越高的鼓包（比如一个高瘦的高斯）的极限，每个都包围面积 1，但严格的对象是由它对检验函数的作用定义的，而非任何逐点取值。它的形式导数表现为 对 delta 撇(x) f(x) dx 的积分 = 负 f 撇(0)。
delta 是工程中的单位冲激：把它输入一个系统，输出就是冲激响应，而冲激响应再通过卷积决定对任意输入的响应。它是格林函数的点源、静电学的点电荷、信号处理中的完美采样运算，以及构造热、波和拉普拉斯方程基本解的标准右端项。亥维赛阶跃函数是它的积分，而对一个跳跃间断求导会产生一个 delta。
筛选实例：对所有 x 求 delta(x 减 3) 乘 x^2 dx 的积分 = 3^2 = 9——delta 恰在尖峰位置 x = 3 处求出 x^2 的值，忽略其余一切。
delta 的全部职责就是在一点处采样一个函数；在积分之外它没有数值。
delta 是分布而非函数：像「delta(0) 为无穷」这样的说法只是宽松的简写，唯有它在积分中对光滑检验函数的作用才是严格的。