格林函数（Green's function）
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假设你有一个线性系统——一根绷紧的弦、一根加热的杆、一片电场——而你想知道它对任意载荷会如何响应。格林的想法是先问一个更干净的问题：它对单个、无限集中地戳在一点的力会如何响应？答出这个，你就能把任意载荷拆成许多小块，把对各小块的响应加起来，从而构造出对该载荷的总响应。格林函数就是这个单点戳击的响应，记作戳击位置与观测位置的函数。
确切地说，对于线性微分算子 L 与边界条件，格林函数 G(x, s) 是满足边界条件的方程 L G(x, s) = delta(x - s) 的解，其中 delta 是狄拉克 delta——放在 s 处的单位点源。一旦有了 G，带这些边界条件的非齐次问题 L u = f 的解便是 u(x) = 区域上 G(x, s) f(s) ds 的积分。用语言说：把在 s 处的点响应按 s 处源 f 的强度加权，再叠加。格林函数实际上就是把算子求逆：u = L^{-1} f 是通过对 G 积分来实现的。
这把求解微分方程化成了做一个积分，而且一劳永逸——G 只依赖于算子与边界，而不依赖于具体的 f。这正是格林函数在静电学（点电荷的电势）、量子力学（传播子）、热流、声学、弹性力学中居于核心地位的原因。要注意的是：G 编码了边界条件，所以改变几何形状或边界数据就会改变 G；自由空间格林函数（无边界）是最简单的基石，而镜像法或本征函数展开则把它改造到有界区域上。
对于 [0, 1] 上 L = -d^2/dx^2、边界条件 u(0) = u(1) = 0，格林函数为：当 x < s 时 G(x, s) = x(1 - s)，当 x > s 时 G(x, s) = s(1 - x)。于是 u(x) = 从 0 到 1 的 G(x, s) f(s) ds 积分，对任意源 f 都解 -u'' = f, u(0) = u(1) = 0——一个公式，应付所有载荷。
这个分段公式关于 x 与 s 对称——这是自伴算子的标志（麦克斯韦-贝蒂互易性）。
格林函数仅当齐次边值问题只有平凡解时才存在且唯一；若零是本征值，则普通格林函数不存在，你必须使用受可解性条件约束的修正格林函数。