基本解（fundamental solution）

如果说格林函数是有边界系统的响应，那么基本解就是同一个算子在完全没有边界时的响应——微分算子对置于无界空间（或无界时空）中单个点源的赤裸答案。它是最纯粹的基石：一个无限、无特征的介质被戳一次时会做什么。

确切地说，线性算子 L（设为常系数）的基本解是任何满足全空间方程 L E = delta、且不施加任何边界条件的分布 E。对三维拉普拉斯算子 L = -nabla^2，基本解是 E = 1/(4 pi r)，即单位点电荷熟悉的库仑势；在二维则是 -(1/(2 pi)) ln r。对热算子，它是随时间扩散的高斯热核；对波算子，它是编码惠更斯原理的膨胀球壳。由于没有边界来定住它，基本解仅在相差一个齐次方程解 L v = 0 的意义下唯一。

基本解是线性偏微分方程理论的万能钥匙。有界区域的完整格林函数，是取基本解再加以修正而建成的——用镜像法，或加上一个齐次解——使其满足边界条件。它们还给出存在性：把基本解与任何合理的源 f 卷积，就产生 L u = f 的一个特解 u = E * f。在物理中，它们就是把影响从时空一点带到处处的传播子（热、薛定谔、波）。