热方程

把金属勺的一端泡在热茶里，温暖会爬上你的手指；闻香水慢慢充满一个房间；看一滴染料在静水中弥散。热方程是唯一一个囊括所有这些现象的偏微分方程——它是关于一种守恒却自由扩散的量（如热能或浓度）如何随时间重新分布的定律。它是抛物型的模型方程，也是一切扩散的原型。

在一维空间里它写作 u_t = k u_xx，其中 u(x, t) 是温度，下标 t 是时间导数、xx 是二阶空间导数，k 是热扩散率（恒为正）。物理可用一句话概括：某点温度上升的速率等于一个常数乘以该点温度分布的曲率。在分布低于周围的地方（局部极小，正曲率）热量流入、该点升温；在凸出于周围的地方（局部极大，负曲率）热量流出、该点降温。于是凸包衰减、凹陷填平，整个分布向平坦或稳定状态弛豫。在更高维里，u_xx 被换成拉普拉斯算子 nabla^2 u，给出 u_t = k nabla^2 u。

热方程由约瑟夫·傅里叶导出——他发明傅里叶级数正是为了解它——它是热工程的主力工具，但触及面远不止于此：化学扩散（菲克定律）、计算机视觉中图像的平滑、简单模型里种群与疾病的传播，以及金融中的布莱克-斯科尔斯方程，后者经过变量替换就变成热方程。它的标志性行为——瞬间磨平、时间之箭、极值原理——全都是那个由曲率驱动的机制的推论。