分离变量法
你究竟怎样手工去解热方程或波动方程？最重要的初等技巧是一个大胆的猜测：寻找能分解的解——其中对空间的依赖与对时间的依赖各自住在相乘的不同因子里。这听起来简单得不可能奏效——而且它只对特殊方程奏效——但一旦奏效，它就把一个难的偏微分方程化成几个你早已会解的常微分方程。
配方是这样的。对一个关于 u(x, t) 的问题，猜一个乘积解 u(x, t) = X(x) T(t)。把它代入偏微分方程；对热方程得 X T' = k X'' T，再两边除以 X T 得 T'/(k T) = X''/X。左边只依赖 t，右边只依赖 x，却对所有 x 与 t 相等——唯一可能的情形是两边都等于同一个常数，即分离常数，通常写作 -lambda。你现在有两个常微分方程：带空间边界条件的 X'' + lambda X = 0，与时间上的 T' + k lambda T = 0。边界条件把空间常微分方程变成一个本征值问题，选出一组离散的容许 lambda_n 与本征函数 X_n（对固定端，即正弦 sin(n pi x / L)）。每一个都与自己的 T_n 配对，又因偏微分方程线性，你把它们叠加：u = 对 c_n X_n(x) T_n(t) 求和，选取系数 c_n 以契合初始条件——这恰是一次傅里叶级数展开。
分离变量法是热方程、波动方程与拉普拉斯方程经典解背后的引擎，也正是为什么傅里叶级数与本征函数展开会与偏微分方程一同讲授。但要诚实面对它的适用范围：它只在方程线性、边界条件在与坐标对齐的区域上齐次（矩形、圆盘、球——坐标系契合边界的几何），且算子确实能分离时才奏效。对歪斜的区域或非线性方程，它干脆失效，你必须转向变换、格林函数或数值方法。
在 0 < x < L 上、两端 u = 0、初值 u(x, 0) = f(x) 的热方程：分离变量给出 u(x, t) = 对 b_n sin(n pi x / L) e^{-k (n pi / L)^2 t} 求和，其中 b_n 是 f 的傅里叶正弦系数。一旦把初始数据用本征函数展开，偏微分方程就解完了。
偏微分方程化为两个常微分方程，边界条件化为本征值问题，初始条件化为傅里叶展开。
分离变量法强大却狭窄：它要求线性、齐次边界条件，以及一个契合可分离坐标系的区域——它不是通用方法，不规则区域里的大多数偏微分方程根本无法用它求解。