斯图姆-刘维尔问题（Sturm-Liouville problem）
/ STURM lee-oo-VEEL /
物理中许多最有用的展开——傅里叶级数、勒让德级数、贝塞尔级数——看起来像奇迹：任意函数竟能写成一组恰好彼此正交的特殊函数之和。斯图姆-刘维尔问题正是同时解释所有这些现象的统一理论。它问：对于区间上给定的二阶微分算子，参数（记作 lambda）取哪些特殊值时，方程既有非平凡解又满足边界条件？这些特殊值就是本征值，对应的解就是本征函数。
具体而言，斯图姆-刘维尔问题是区间 [a, b] 上的本征值方程 (d/dx)(p(x) dy/dx) + q(x) y + lambda w(x) y = 0，再配上两端点的边界条件。其中 p(x) > 0 与权函数 w(x) > 0 为给定函数。我们寻找使非零 y 同时满足方程与边界条件的配对 (lambda_n, y_n)。正如矩阵只有某些本征值一样，这个算子只允许离散的一列 lambda_1 < lambda_2 < ...，每个对应自己的本征函数 y_n。正交性、完备性、广义傅里叶级数这整套机制，都源于这个方程特殊的自伴形式。
这一点之所以重要，是因为几乎每个用分离变量法求解的边值问题，背后都藏着一个斯图姆-刘维尔问题。振动弦给出 sin(n pi x / L)；圆形鼓面给出贝塞尔函数；球面给出勒让德多项式。识别出这个共同的斯图姆-刘维尔骨架，你就能复用同一套保证——本征值为实、本征函数正交、展开完备——而不必为每种新几何形状重新证明一遍。
取 [0, L] 上的 y'' + lambda y = 0，边界条件 y(0) = y(L) = 0。这是 p = 1、q = 0、w = 1 的斯图姆-刘维尔问题。仅当 lambda_n = (n pi / L)^2 时才有非平凡解，本征函数为 y_n = sin(n pi x / L)——恰是两端固定振动弦的正弦级数。
普通傅里叶正弦级数是最简单的斯图姆-刘维尔问题；更丰富的展开只是改变了 p、q、w。
并非每个二阶常微分方程一开始就是斯图姆-刘维尔问题，但任何线性方程都能通过乘以一个积分因子化为自伴形式——正是这一步开启了全部谱论保证。