斯图姆-刘维尔边界条件（Sturm-Liouville boundary conditions）
本征值问题一半是微分方程，一半是边界条件；改变条件就改变了整个谱。对斯图姆-刘维尔问题而言，边界条件并非随意——它们必须属于能使算子自伴的那一类，因为只有这样本征值才为实、本征函数才正交。因此，选对边界条件的类别和写对方程同样关键。
三类条件可以胜任。正则（或称分离）条件在每个端点独立地施加齐次关系，如 alpha y(a) + alpha' y'(a) = 0 与 beta y(b) + beta' y'(b) = 0；狄利克雷（y = 0）、诺伊曼（y' = 0）、罗宾（混合）是常见情形。周期条件把两端绑在一起，y(a) = y(b) 且 y'(a) = y'(b)，如在圆环上。奇异条件出现于 p(x) 在端点处为零时（如勒让德在 x = +/-1、贝塞尔在 x = 0），或区间无界时；此时用正则性要求代替显式条件——要求 y 保持有界，或对权函数平方可积。无论哪种情形，底层要求都相同：边界项 p (u' v - u v') 在两端的值，对一切容许的 u、v 都必须相消。
条件选错，保证就化为乌有：本征值可能变复，本征函数可能不正交，所构造的展开也不会收敛到你出发时的函数。这就是为什么对球面而言，那条没说出口的边界条件不过是在极点处有界，而对导热棒来说，绝热端就是一个诺伊曼条件——辨认出哪种物理情形对应哪种斯图姆-刘维尔边界条件，正是建模真正发生之处。
在两端绝热的均匀棒 [0, L] 上，热方程本征值问题 y'' + lambda y = 0 带诺伊曼条件 y'(0) = y'(L) = 0。本征函数为 cos(n pi x / L)，n = 0, 1, 2, ...，包括常数模 lambda = 0——它编码了守恒的总热量。
方程与固定弦相同，但把狄利克雷换成诺伊曼边界，基底就从正弦翻为余弦，并多出一个零本征值。
周期边界条件可能给出带两个独立本征函数的本征值（简并），这与每个本征值都单重的正则分离条件不同——在数模式时，这是个虽小却要紧的差别。