诺伊曼边界条件
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有时你控制的不是区域边缘处的取值，而是穿过它的流。把一根棒裹上完美的绝热层，你并没有固定两端的温度——你要求的是没有热量穿过两端。要固定温度你会指定一个值；要固定流你必须指定一个斜率，因为通量正比于梯度。诺伊曼边界条件就是固定那个斜率的规定——边界上场的法向导数。
形式上，在边界上你要求 partial u / partial n = h，其中 partial / partial n 是沿垂直于边界的法方向的导数，h 是给定函数。由傅里叶定律及其类比，那个法向导数恰是穿过墙壁的通量，所以诺伊曼条件指定了多少热、电荷或流体穿过边界。最重要的特例是齐次诺伊曼条件 partial u / partial n = 0，它说完全没有通量——完美绝热的壁、不可穿透的屏障，或自由（无外力）的边缘。对区间上的热方程或拉普拉斯方程，这个条件使空间本征函数成为余弦而非正弦，并容许一个常数模态（n = 0 项），那是狄利克雷条件所禁止的。
凡边界被绝热、密封或对称时，诺伊曼条件就是恰当的模型：绝热的棒端、热孤立物体的表面、流体无法穿过的壁，或通量必须为零的对称面。拉普拉斯方程或泊松方程的纯诺伊曼问题有个微妙之处：解只确定到相差一个可加常数（你可以把整体温度均匀抬高而不改变任何斜率），而对泊松方程，只有当总源与总的规定边界通量相平衡时解才存在——这是一条内建的守恒律，称为相容性或可解性条件。
一根绝热的棒满足 u_x(0, t) = 0 与 u_x(L, t) = 0（无热量从两端逸出）。空间本征函数现在是 cos(n pi x / L)，包括常数 n = 0 模态；物理上总热量守恒，棒弛豫到一个等于初始平均值的均匀温度。
绝热把斜率固定为零，选出余弦函数，并守恒总量——常数模态永远存留。
纯诺伊曼问题只把场确定到相差一个可加常数，而对泊松方程，除非源与边界通量相平衡，否则它根本无解——那个可解性条件不是技术细节，而是守恒的陈述。