适定问题

当你把一个偏微分方程连同它的边界条件和初始条件一起列出来时，你会希望在花力气求解之前先确认：你写下的问题是不是一个合理的现实模型。雅克·阿达马把合理的含义提炼成三条要求，满足全部三条的问题就称为适定的。这份清单很短，却是全部应用数学的质检表。

一个问题是适定的，如果：第一，解存在（你的方程与数据不自相矛盾）；第二，解唯一（数据恰好钉住一个答案，而非一族）；第三，解对数据连续依赖（边界值或初始值的微小改变只引起解的微小改变）。第三条，稳定性，是微妙而关键的一条。一个问题可以有唯一解，却在数据被轻轻一碰时剧烈摆动——而由于真实数据总带着测量误差，这样的不适定问题即便技术上有解，对预测也毫无用处。经典例子是逆向热方程：原则上存在唯一解，但当前温度里最微小的噪声，在你试图重建过去时会爆炸。

适定性正是把偏微分方程与正确种类的数据绑在一起的东西：椭圆型方程作为边值问题是适定的，作为初值问题则不适定；双曲型与抛物型方程作为初（边）值问题是适定的。把方程类型与其恰当的数据相匹配，正是正确提出问题的艺术。重要的是，不适定并不意味着不重要——许多真实的反问题（医学成像、去模糊、地球物理）本质上就是不适定的，而有一整个领域（正则化）专门用来诚实地驯服它们，而不是假装那种不稳定不存在。