二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程有无穷多个，但它们只归入三个家族，而一个给定方程属于哪个家族，几乎告诉了你它的解将如何行事——信息是以有限速度还是瞬间传播，扰动是保持尖锐还是被抹平，正确的数据该放在区域的边界上还是某个初始时刻。这三种类型称为椭圆型、抛物型与双曲型，名字借自圆锥曲线，理由是精确的。
把两个变量的一般二阶线性方程写成 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低阶项）= 0，其中下标表示偏导数，A、B、C 是最高阶导数的系数。类型由判别式 B^2 - A C 决定，这恰是给圆锥曲线 A x^2 + 2B x y + C y^2 = 常数 分类的那个量。若 B^2 - A C 小于 0，方程是椭圆型（想想拉普拉斯方程，A = C = 1，B = 0，判别式 -1）；若等于 0，是抛物型（热方程，缺了一个二阶导数）；若大于 0，是双曲型（波动方程，A = 1，C = -c^2，判别式 c^2 > 0）。若系数随位置变化，分类也可能逐点改变——这正是为什么例如跨声速流动如此微妙。
这不是记账——类型支配着物理。双曲型方程有实的特征曲线，信号沿之以有限速度传播，尖锐的波前与间断也沿之传播；它们描述波。抛物型方程描述扩散：它们瞬间磨平数据，在理想化形式下信号速度无穷大，并内建了一个时间之箭。椭圆型方程描述平衡与稳态，根本没有时间方向，其解尽可能光滑。每种类型也各自要求与之相称的边界数据或初始数据，问题才适定；把数据与类型配错，会产生无解或剧烈不稳定的问题。
拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0 的 B^2 - A C = 0 - (1)(1) = -1 < 0，椭圆型。热方程 u_t - u_xx = 0 在 (t, x) 下判别式等于 0，抛物型。波动方程 u_tt - c^2 u_xx = 0 的判别式 0 - (1)(-c^2) = c^2 > 0，双曲型。
三个模型方程恰好各属一种类型——这正是它们被放在一起讲授的原因。
类型仅由最高阶（主部）系数决定；低阶项与源项不改变它，不过对变系数而言，类型可能逐点不同。