双曲型方程

拨动一根弦，一个扭折沿它飞奔；拍手，一道压力锋面以声速向外传播；丢一颗石子，一圈涟漪在池面扩展。在所有这些里，扰动保持形状并以确定、有限的速度移动，并把身后的介质留得跟它来时一样。描述传播与波的偏微分方程就是双曲型方程，是三种二阶类型中的第三种。

双曲型方程的判别式 B^2 - A C 严格为正，以波动方程 u_tt = c^2 u_xx 为原型。决定性特征是两族不同的实特征曲线——对波动方程就是直线 x - c t = 常数 与 x + c t = 常数——信息正是沿之以速度 c 传播。由于信号以有限速度移动，双曲型方程有依赖域（某点的值只依赖于初始数据的有限区域，即一个后向光锥）与影响域（某点的初始数据只影响一个有限的前向锥）。尖锐特征与间断被保留并沿特征曲线携带，而非被磨平，恰与扩散相反。双曲型问题通常需要时间上的两个初始条件（位置与速度），因为它对时间是二阶的。

双曲型方程支配一切无耗散地传播的东西：声波与电磁波，弦、膜与弹性固体的振动，浅水与气体动力学（其中非线性双曲型方程形成激波），以及麦克斯韦理论中光的传播。有限信号速度与特征结构并非偶然——它们正是因果性、回声与波前存在的原因，也是为什么这些方程的数值格式必须遵守一个速度上限（CFL 条件）才能保持稳定。