达朗贝尔解
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无限长弦上的波究竟在做什么？在任何级数或变换之前，一维波动方程有一个惊人干净的答案，由让·勒朗·达朗贝尔在 1747 年发现：最一般的解不过是两个固定的形状，一个以波速 c 向右滑、一个向左滑，二者相加。没有任何东西原地振荡；一切都在平移。
波动方程 u_tt = c^2 u_xx 的通解是 u(x, t) = F(x - c t) + G(x + c t)，其中 F 与 G 是任意（二次可微）函数。组合 x - c t 沿一个向右移动的观察者保持常数，所以 F(x - c t) 是一个以速度 c 向右刚性行进的形状；同理 G(x + c t) 向左行进。给定初始形状 u(x, 0) = phi(x) 与初始速度 u_t(x, 0) = psi(x)，这两个未知函数被显式钉住，给出达朗贝尔公式：u(x, t) = (1/2)[phi(x - c t) + phi(x + c t)] + (1/(2c)) 乘以 psi(s) 从 x - c t 到 x + c t 的积分。用话说：(x, t) 处的位移，是初始形状在左右各距 c t 的两点处取值的平均，加上初始速度在二者之间区间上积分的贡献。
这个公式是把双曲结构和盘托出的最干净的例证。它直接展示有限传播速度：(x, t) 处的解只依赖于区间 [x - c t, x + c t] 内的初始数据，即它的依赖域，而与区间外的一切无关。它解释了为什么拨动的弦会分裂成两个反向奔跑的脉冲，也是检验波动数值求解器的精确闭式基准。在有限长弦上，同一思想通过波在边界处反射来实现，那正是与驻波傅里叶级数对偶的行波图景。
一根从静止释放（psi = 0）、带初始凸包 phi 的无限弦，其解为 u(x, t) = (1/2)[phi(x - c t) + phi(x + c t)]：凸包分裂成两个半高的副本，一个向左跑、一个向右跑，各自刚性而不变。
从静止释放，初始形状就一分为二并向两侧奔跑——这是达朗贝尔公式的标志图景。
达朗贝尔公式干净地适用于一维波动方程；在偶数空间维（如二维表面上的波）里，类比的解没有尖锐的后沿，所以平面里的一声闪响不会给出干净的回声——简单的行波图景是奇数维所特有的。