振动弦
把一根弦两端钉牢，拨它一下，松手：它弹入运动，成为一片闪烁的弧形混合——一个大弧，加上一个更快的双弧抖动，再加上一个三弧的，一同发声。这正是傅里叶级数实际上被发明来求解的问题，是'信号是谐波之和'与真实物理相遇的地方。弦可能的形状恰好是那些在两个固定端处为零的正弦曲线，而它的运动是这些形状各自随时间振荡的总和。
一根长 L、两端固定的弦，其运动 u(x,t) 服从波动方程 u_tt = c^2 u_xx，边界条件 u(0,t) = u(L,t) = 0。分离变量法说去找乘积 X(x) T(t)；边界条件强行使 X(x) = sin(n pi x / L)，即驻波模式，而每个模式以它自己的频率 c n pi / L 随时间振荡。通解是空间上的傅里叶正弦级数，其系数随时间起伏：u(x,t) = 对 n 求和 sin(n pi x / L) [ A_n cos(c n pi t / L) + B_n sin(c n pi t / L) ]。为匹配初始拨弦形状和初速度，你把它们展成半区间正弦级数——欧拉-傅里叶公式就直接把 A_n 和 B_n 交给你。每个 n 是一个简正模；n = 1 模是基音，更高的 n 是泛音。
这是从傅里叶级数到偏微分方程的典范桥梁，也是乐器弦发出和谐声音的物理原因：泛音频率是基频 c n pi / L 的精确整数倍，因为模式形状是均匀编号的正弦。诚实的限定是：这架干净的谐波阶梯依赖于一些理想化——完全柔软、小振幅、张力和密度均匀。真实的弦有刚度，会把泛音推得略偏高（非谐性），这正是为什么真正的钢琴要靠耳朵调音，而不能单凭公式。
把弦拨成一个以 L/2 为中心的三角形并从静止释放：只有奇数模被激发，u(x,t) = 对奇数 n 求和 (8h/(n^2 pi^2)) sin(n pi/2) sin(n pi x/L) cos(c n pi t/L)——空间剖面是半区间正弦级数，时间因子是纯余弦，因为弦从静止开始。
你在哪里拨弦，决定了哪些谐波发声——在正中拨弦会让每个偶数模沉默。
泛音是基频的精确整数倍这一漂亮结果，是理想柔软弦的性质；真实的弦有弯曲刚度，使泛音逐渐偏高，所以完美的谐波列是一个模型，而非字面意义上的物理。