椭圆型方程

想象一张肥皂膜绷在一个弯曲的金属丝环上，或者一块边缘被固定温度的金属板里的稳态温度，或者一个四周放着电荷的区域里的静电势。每种情形里都没有任何东西随时间变化——系统已经稳定到平衡——而任一内部点的取值是它周围环境的某种加权平均。支配这类稳态的偏微分方程就是椭圆型方程，是二阶线性偏微分方程三大家族中的平衡型。

椭圆型方程是判别式 B^2 - A C 为负的方程，原型是拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0 及其非齐次表亲泊松方程。其决定性特征是没有实的特征曲线：没有任何方向供信息传播，所以某点的扰动会瞬间且平滑地被整个区域感受到。解自动地与数据允许的一样光滑（事实上，即使边界数据粗糙，内部也无穷可微），并服从极值原理——内部点永远不会比边界上最热的点更热或更高。其自然问题是边值问题：你在一个封闭区域的整个边界上给定数据，再求内部的解。

凡是有静态场的地方都有椭圆型方程：静电学与引力（势满足拉普拉斯或泊松方程）、稳态热传导、不可压缩无黏流动（速度势）、绷紧薄膜的挠曲，以及任何扩散过程的稳态。它们的解由边界数据唯一确定，并对边界数据连续依赖，这使椭圆型边值问题成为所有偏微分方程问题中行为最好、被研究得最透彻的一类。