偏微分方程
泊松方程
/ PWAH-sohn /
拉普拉斯方程描述空区域里的平衡——没有电荷、没有热源、没有质量。但真正令人感兴趣的通常是源所做的事：电荷所在之处，电势弯曲；热量被泵入之处，稳态温度凹陷或隆起；质量集中之处，引力势加深。泊松方程就是把源放回去的拉普拉斯方程，是静态场论的母方程。
它写作 nabla^2 u = f，即未知场的拉普拉斯算子等于一个给定的源密度 f（依赖于位置）。f 为零之处它退化为拉普拉斯方程、场是调和的；f 非零之处场被迫弯曲以容纳源。在静电学里这恰是 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0，说势的曲率由当地电荷密度决定；在稳态热传导里源是内部产热率；在牛顿引力里 nabla^2 Phi = 4 pi G rho 把势与质量密度联系起来。解是对源的一个特解响应，加上任一由边界条件确定的调和函数。
泊松方程是从已知源分布通向它所产生的场的桥梁，求解它是静电学、引力以及带源稳态扩散的核心计算。标准工具是格林函数——单个点源的场——它让你能通过叠加（把点源场对源密度积分）搭出对任意 f 的响应。那个叠加积分正是为什么泊松问题尽管活在连续空间里，却归结为把每一小块源的贡献加起来。
一个均匀带电的球产生的势 phi 在球内满足 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0，在球外满足 nabla^2 phi = 0（拉普拉斯）。在球面上把两个解匹配起来，就重现了那个熟悉的结果：球外的场看起来恰如球心处一个点电荷的场。
球内用泊松方程（电荷所在），球外用拉普拉斯方程（空区域）——在边界处缝合。
单独的泊松方程并不能确定场；你仍然需要边界条件，因为你总能加上任一调和函数（拉普拉斯方程的解）而不改变源项。
又称
另见