极值原理

有一个事实，一旦说出来就显得理所当然，却威力巨大：在一个没有内部热源的区域里，最热的点总在边界上，绝不严格地在内部。热量不会自发集中；稳态温度场不可能在内部有一个超过周围一切的峰。极值原理就是把这一直觉对拉普拉斯方程与热方程做的严格陈述，也是整个偏微分方程理论中最锋利的工具之一。

对拉普拉斯方程（调和函数），原理说有界区域上的非常数解只在边界上取得其最大值与最小值——内部取值被夹在边界极值之间。原因是平均值性质：调和函数在任一点的值等于一个环绕球面上的平均，而平均永远不会超过被平均的最大值，所以严格的内部峰是不可能的。对热方程有一个抛物版本：温度在一个时空区域上的最大值，要么出现在初始时刻，要么出现在空间边界上——绝不出现在后续时刻的内部点。它有弱形式（最大值在边界上取得）与强形式（若最大值在内部取得，则解为常数）。

极值原理是几个深刻结果几乎免费获得的引擎。狄利克雷问题的唯一性立即随之而来：若两个解共享同样的边界数据，它们的差是调和的且边界值为零，故由原理它处处为零——解唯一。连续依赖（稳定性）与先验界以同样方式随之而来，这正是椭圆型与抛物型问题适定的大部分原因。它还免费给出定性的物理意义：一个无内部源的物体，绝不会自发地发展出比其表面更热的内部，正如热力学所坚持的那样。