应用复分析
调和函数（harmonic function）
把肥皂膜张在一个金属环上，或让热量在金属板里安顿到一切不再变化，或描出无电荷空间中的电势。每种情形下得到的场都是调和函数：它在任一点的值等于它在该点四周一个小圆上诸值的平均。它没有任何并非由边界逼出的局部凸起或凹陷——它是对边缘所规定数值的最平滑插值。
精确地说，实函数 u(x, y) 在某区域上调和，是指它在那里有连续二阶导数并满足拉普拉斯方程 nabla^2 u = d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0。平均性质是一条定理：任何圆盘中心处的值等于其边界圆上的均值。由此流出最大值原理——调和函数只在边界上取得最大与最小值，绝不严格落在内部——这正是为何无电荷区域内部没有势的峰，而受热板内部最热点不会超过其边缘。
复分析为调和函数铺了一条坦途。柯西-黎曼方程迫使每个解析函数的实部与虚部都调和，于是每个解析 f(z) 一次便供出两个调和函数。反过来，在平面上每个调和函数都是某个解析函数的实部。这就是为什么二维静电学、稳态传热与理想流体流动都能用解析函数与共形映射这套机器求解，而不必硬碰硬地直接啃那偏微分方程。
u(x, y) = x^2 - y^2 是调和的：d^2u/dx^2 = 2 而 d^2u/dy^2 = -2，故和为零。它是解析函数 f(z) = z^2 的实部，其虚部 v = 2xy 是它的调和共轭。等值线 x^2 - y^2 = 常数 与 2xy = 常数 处处正交相交——这是调和对的标志。
每个解析函数都免费交出一个调和的实部和一个调和的虚部。
调和不等于光滑，也不等于极小：调和函数是一种鞍状的平衡，绝无严格的内部极大或极小。此外，与解析函数那干净的二维联系是平面特有的——三维中调和函数依然存在，却不是复解析函数的实部。
又称
另见