柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）
/ KOH-shee REE-mahn /
把一个复函数拆成实部与虚部，f(z) = u(x, y) + i v(x, y)，然后问：u 与 v 要长成什么样，f 才有复导数？柯西-黎曼方程便是答案——一对联系 u 与 v 的偏微分方程，恰当 f 解析时成立。它们是复可导的代数核心，是让平面在求导这件事上表现得像一条直线的那套记账法。
写出来即 du/dx = dv/dy 与 du/dy = -dv/dx。用话说：实部沿 x 方向上升的速率等于虚部沿 y 方向上升的速率，而两个交叉速率互为相反数。几何上这意味着映射 x 到 u 与 y 到 v 锁在一起，把无穷小正方形送成正方形——一个微小图形被旋转、被缩放，却不被剪切。这正是解析映射的局部图景；当方程成立（且偏导连续）时，那唯一的复导数为 f'(z) = du/dx + i dv/dx。
这组方程是解析性的实用判据，也是通往物理的桥梁。因为把两式交叉求导可得 nabla^2 u = 0 与 nabla^2 v = 0，任何解析函数的实部与虚部都自动是调和的——它们满足拉普拉斯方程。于是每个解析函数都免费奉上两个满足稳态传热、静电势与理想流体流动支配方程的解。工程师不断利用这一点：挑一个方便的解析函数，便可读出一个势及其共轭流。
检验 f(z) = e^z。此处 u = e^x cos y，v = e^x sin y。则 du/dx = e^x cos y 而 dv/dy = e^x cos y——相等。又 du/dy = -e^x sin y，而 -dv/dx = -e^x sin y——也相等。两条柯西-黎曼方程处处成立，确认 e^z 解析，且 f'(z) = du/dx + i dv/dx = e^x cos y + i e^x sin y = e^z。
两条方程是解析性的快速检查表，同时还把 f'(z) 一并奉上。
在某点满足柯西-黎曼方程对该点可导是必要的，却不完全充分；还需偏导数连续（或 f 作为实映射确实可微）。有病态例子在单点满足 C-R 却并不解析。