调和共轭（harmonic conjugate）

假设有人递给你一个调和函数 u——比如某无电荷区域中的静电势。在它身旁潜藏着一个伙伴，即调和共轭 v，它以互补的视角打包了同一份物理。u 描出等势线之处，v 描出与之垂直相交的场线；u 是温度时，v 便是热流的流函数。调和共轭就是与第一个函数结合、共同构成一个解析整体的那第二个调和函数。

具体地说，给定调和的 u(x, y)，其调和共轭 v 是使 u + i v 解析的那个调和函数，也就是说这对函数满足柯西-黎曼方程：dv/dx = -du/dy 与 dv/dy = du/dx。构造 v 的办法是积分这两式：由 -du/dy 读出 dv/dx，对 x 积分，再用另一式定出余下那个仅含 y 的函数。在单连通区域上这总能奏效，并把 v 确定到相差一个常数。u 与 v 的等值线构成一张正交网格——这正是流动的曲线坐标网。

这种配对是二维场论的引擎。在流体力学中 u 是速度势、v 是流函数，二者的组合 w = u + i v 即复势，把整个理想流动收进一个解析函数——流线就是等值线 v = 常数，流速就是 dw/dz 的模。在静电学中 u 给出等势线、v 给出力线。一个诚实的提醒：在带洞的区域上，共轭可能不再单值（想想绕一点一周的角度），而这恰恰是环量与净电荷进入图景的方式。