解析函数（analytic function）

在实分析里，一个函数可以只可导一次而不可导两次，或者光滑却暗藏意外。一旦走进复平面，一种惊人的刚性便浮现出来。解析函数是指在某个开区域内每一点都在复意义下可导的复函数 f(z)。仅仅这一条要求——无论从哪个方向逼近，导数都给出同一个数——就强大得出奇，本领域几乎所有有力工具都由它流出。

复可导意味着当 h 趋于零时，极限 (f(z + h) - f(z))/h 无论 h 沿实轴、虚轴还是任何螺线逼近都给出同一答案。这是一个真实的约束，因为在平面上逼近的方向有无穷多个，而不只是两个。要求它们全都一致，就迫使 f 的实部与虚部通过柯西-黎曼方程相互锁定。随之而来一个奇迹：在此意义下仅可导一次的函数自动可导无穷多次，并在区域内任一圆盘上等于自身的泰勒级数。可导一次即解析；解析即刚性而可预测。

解析函数是数学物理与工程的工作材料：势、流体速度场、电磁场以及信号变换，凡在其支配方程成立之处，都以解析函数的形式存在。它们的刚性正是其有用之处——只要知道 f 在一小块区域上、甚至仅在一条边界曲线上的值，就把它在各处都钉死了；而在实轴上看似不可能的积分，一旦视作解析函数的取样，便迎刃而解。