应用复分析
柯西积分定理（Cauchy's integral theorem）
/ KOH-shee /
想象你沿一条闭合回路行走，边走边把某量累加，最后回到起点。对某些量，这累加完美地自相抵消，什么都不剩。柯西积分定理说，解析函数沿任何不圈住麻烦的闭合回路的围道积分，正是如此：这趟来回的总和为零。它是奠基性的事实，应用复分析几乎每一项技巧都由它构筑而成。
其陈述为：若 f(z) 在一条简单闭围道 C（无自交的回路，函数在所围区域内处处光滑）上及其内部处处解析，则 f(z) dz 沿 C 的积分等于零。其直觉是守恒，是保守力场绕回路不做净功的复回声；柯西-黎曼方程恰是令相关实线积分路径无关的条件。一个有力推论是围道形变：既然界定一个解析区域的闭合回路上的积分为零，你便可在任何 f 解析的区域内自由地滑动、拉伸围道而不改变积分，把它折成任何方便的形状。
这条定理是一切围道技巧背后的许可证。它让你把别扭的积分路径换成容易的，把围道推向无穷远处（那里被积函数消亡），并把回路收缩到奇点周围。当所围区域确实含有奇点时，定理不再给出零——但这受控的失效本身就是奖赏，它直接通向柯西积分公式与留数定理。知道 f 在何处解析，就知道你在何处有挪动的自由。
把 f(z) = z^2 沿单位圆积分。由于 z^2 处处解析（多项式，无奇点），柯西定理说回路积分为零——直接计算也确认如此。但把 1/z 沿同一圆积分却得 2 pi i 而非零，恰因 1/z 在回路内 z = 0 处有奇点，定理的前提失效。
不圈住奇点便得零；圈住了奇点，积分才正变得有趣。
定理既要求在整个所围区域内解析，又要求区域无洞（单连通）。在带洞的域上——例如围住一个奇点的圆环——回路积分未必为零，而这恰是留数与对数的 2 pi i 溜进来的方式。
又称
另见