围道积分（contour integration）
实积分沿数轴的一段扫过。围道积分则沿一条穿过二维复平面的路径行走，边走边把复函数的值累加起来。它是整个本领域的核心运算——其魔力在于：答案往往只取决于路径围住了哪些奇点，而不取决于路径的确切形状，于是你尽可把路线弯成任何让计算变容易的样子。
形式上，对函数 f(z) 和由 z(t) 参数化的定向曲线 C，围道积分是 f(z) dz 沿 C 的积分，按参数算即 f(z(t)) 乘 z'(t) dt 的积分——它是向量场线积分的复值类比。定向要紧：反向会令符号翻转，而绕闭合回路的标准正向是逆时针。当 f 在闭围道上及其内部解析时，积分为零（柯西定理）；当奇点落在内部时，积分从每个奇点收取一份干净的贡献，这便是留数定理的内容。
围道积分是复分析的实际回报。那些抵抗一切初等技巧的实积分——(sin x)/x 的积分、1/(1 + x^4) 的积分、物理中的振荡与反常积分——只需在上半或下半平面把围道闭合、读出留数，便一两行内拿下。它还计算拉普拉斯与傅里叶逆变换（布罗姆维奇积分）、对无穷级数求和，并定位那些决定控制系统是否稳定的根与极点。
把 f(z) = 1/z 沿单位圆 z = e^{i t}（t 从 0 到 2 pi）逆时针积分。则 dz = i e^{i t} dt，f(z) dz = (i e^{i t} / e^{i t}) dt = i dt，故积分为 i 乘 2 pi = 2 pi i。路径把 z = 0 处的奇点绕了一圈，绕它的任何别的回路都给出同样的 2 pi i——值取决于是否围住，而非形状。
基本奇迹：1/z 的回路积分是 2 pi i，与回路的形状无关。
路径无关并非无条件：它只在函数解析之处成立。越过一个奇点或一条分支切割，值就会改变。全部技艺就在于选取一条避开切割、只困住你想计数的那些奇点的围道。