留数定理（residue theorem）
假设你的围道绕住了好几个函数发散的点。每个奇点都留下一个数——它的留数——记录它对回路积分贡献多少，而函数的其余一切都无关紧要。留数定理说，整个围道积分不过是这些留数之和，乘以 2 pi i。它把积分坍缩成一桩记账：找出被困的奇点，把它们的留数加总，再相乘。
精确陈述：若 f 在正向闭围道 C 上及其内部除内部若干孤立奇点外解析，则 f(z) dz 沿 C 的积分等于 2 pi i 乘以 f 在那些内部奇点处留数之和。某点的留数是该处洛朗级数中 1/(z - a) 的系数 c_{-1}——唯一其回路积分存活的项。对单极点有捷径：留数等于 z 趋于 a 时 (z - a) f(z) 的极限。对 m 阶极点，则把 (z - a)^m f(z) 求导共 m - 1 次再取极限。该定理把柯西定理（无奇点，故为零）与柯西公式（一个单极点）统一在一个屋檐下。
这是应用复分析的动力舱。它求那些没有初等原函数的定积分，把无穷级数化为 cot(pi z) 或 csc(pi z) 的留数和来求和，反演拉普拉斯与傅里叶变换，并算出积分的渐近行为。它之所以感觉像魔法，在于其经济：一条曲线上的整个积分，由屈指可数的几个局部数字决定——每个奇点一个，各自可由一段简短的洛朗展开算出。
把 f(z) = 1/(z^2 + 1) 沿一个圈住极点 z = i 与 z = -i 的大圆积分。在 z = i 处留数为 (z - i)/((z - i)(z + i)) = 1/(z + i) = 1/(2i) 的极限；在 z = -i 处为 1/(-2i)。两个留数之和为零，故回路积分为 2 pi i 乘 0 = 0——贡献恰好抵消。
把所围极点的留数加总再乘 2 pi i——整个积分三步搞定。
只有严格落在围道内部的奇点才计入，且必须用正确的定向（逆时针为正）。把单极点的捷径套用于高阶极点会给出错误留数；定理对恰好落在围道上的奇点也无可奉告——那种情形需用主值或绕道围道来处理。