用留数计算实积分（evaluation of real integrals by residues）

这便是激励起整门学问的大回报。有些实积分——沿实轴的、再寻常不过的积分——能挫败大一微积分的一切方法：换元不行，分部不行，部分分式也撬不开。然而只要离开实轴、绕道复平面、再数留数，它们便几行内倒下。用留数计算实积分，就是把一个实问题暂时变复、从而求解它的技艺。

这套配方有几个标准招式。对整条实轴上的有理函数，你用上半平面的一个大半圆把围道闭合；当半径增大时半圆的贡献趋于零（只要被积函数衰减得够快），于是实积分等于 2 pi i 乘以上半平面内留数之和。对含 sin 与 cos 的整周期积分，你代换 z = e^{i theta}，把积分化为绕单位圆的回路。对振荡积分（带傅里叶型因子 e^{i k x}），约当引理保证弧上贡献消失，你只需挑指数衰减的那个半平面。带根式或对数的被积函数则需要一条缠绕分支切割的锁孔围道。

这是一种货真价实的方法，绝非障眼法。复积分与实积分由诚实的定理相联——柯西定理与留数定理——而那杀掉添加弧段的极限论证是严格的（约当引理、用弧上最大值作估计）。它是贯穿物理与工程的积分的标准路径：衍射积分、格林函数、波函数的归一化、电动力学中的响应函数，以及拉普拉斯逆变换，无不在一条选得好的围道与一份留数清单前折服。