高级积分技巧
柯西主值（Cauchy principal value）
/ KOH-shee /
有些积分在通常意义下是发散的——它们在区间内部某点炸开，比如 1/x 跨过零点的积分——然而两侧的无穷大互为镜像，本应抵消。柯西主值是认真对待这种抵消的一种谨慎办法：你在麻烦点周围挖去一个对称的小窗口，并让它从两侧同步、均匀地收缩，从而捕捉到诚实的极限所揭示的有限答案。
确切地说，对位于 [a, b] 内部 c 处的奇点，主值是当 epsilon 趋于零时，[a, c - epsilon] 上的积分加 [c + epsilon, b] 上的积分的极限——两侧用同一个 epsilon。这种对称至关重要。若让两个缺口以不同速率收缩，你能得到任何想要的答案，这正是普通积分发散的原因；主值挑出那个唯一平衡、对称的极限。同样的想法处理无穷区间：整条直线上积分的主值是 [-R, R] 上积分当 R 增大时的极限。
主值在物理和信号处理中不可或缺：希尔伯特变换、色散关系（克拉默斯-克勒尼希）和索霍茨基-普莱梅利公式全都建立在主值积分上，并在响应函数于实轴上有极点时出现。诚实的警告是：主值是一种更弱的、有条件的积分概念——它凭抵消而存在，所以你必须始终明写 P.V.；主值并不等同于积分收敛，把它当作收敛会掩盖一个真正的发散。
1/x 从 -1 到 1 的积分发散，但它的柯西主值是 0：由对称性，[-1, -epsilon] 上的积分（即 ln(epsilon)）对每个 epsilon 都恰好抵消 [epsilon, 1] 上的积分（即 -ln(epsilon)）。
对称地收缩缺口，让等大反向的无穷相互抵消，得到一个有限值。
主值取决于取极限时的对称方式。若你不对称地挖去奇点，答案就会变，所以必须注明 P.V.；它是一种正则化，而非普通积分收敛的证明。
又称
另见