希尔伯特变换

这个家族里大多数变换把函数送进一个不同的域——频率、标度——在那里变量有了新的含义。希尔伯特变换不一样：它接收一个时间的函数，返回另一个时间的函数，同一类对象。它所做的是一次精确的相位旋转：把每个频率分量旋转九十度，把每个余弦变成正弦、每个正弦变成负余弦，却不动任何振幅。

它的定义是与 1/(pi x) 的卷积：f 的希尔伯特变换是 H f(x) = (1/pi) 乘以 integral of f(t)/(x minus t) dt 的柯西主值。被积函数在 t = x 处发散，所以这个积分必须读作柯西主值，对称地排除那个奇点——这不是可选项，而是定义的一部分。在频率域中这个操作既简单又揭示了它的本质：希尔伯特变换把频谱乘以 minus i 乘以频率的符号，这是一个纯粹的九十度相移（负频率上加九十度，正频率上减九十度），且处处模为一。

它的核心用途是构造解析信号：f(x) 加上 i 乘以它的希尔伯特变换，是一个不含负频率成分的复信号，从中可以直接读出一个实信号的瞬时振幅（包络）和瞬时相位——这在通信、振动分析、地震学和雷达中不可或缺。同一套机制给出单边带调制。它还有一层深刻的理论角色：一个解析函数边界值的实部与虚部互为希尔伯特变换，这正是克拉默斯-克勒尼希关系的内容，它把一种物理介质的吸收与折射绑在一起，是因果律的直接后果。主值是不容商量的小字注脚：忽略它，定义积分就毫无意义。