傅里叶变换
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想象在钢琴上按下一个和弦。你的耳朵听到的是一个声音，但调音 App 却把它拆成几个尖锐的峰——各个音符及其响度。傅里叶变换就是那个 App 的数学版本：它接收一个写成时间（或空间）函数的信号，告诉你其中含有多少每一种纯频率的成分。傅里叶级数对周期信号用一组离散的谐波做这件事，而傅里叶变换则对一次性、不重复的信号做同样的事，得到的答案是一条覆盖所有频率的光滑曲线，而不是一串尖峰。
精确地说，函数 f(x) 的傅里叶变换是 F(k) = 从负无穷到正无穷的 f(x) e^{-i k x} dx，其中 k 是频率（视约定是角频率或波数）。每个值 F(k) 衡量频率为 k 的波 e^{i k x} 在 f 中存在的强度，做法是把这个测试波沿 f 滑动并累积它们的重叠。它作为傅里叶级数的极限出现：取一个周期为 L 的周期函数，写出它的级数，再让 L 无限增大；离散的谐波频率 n 乘以 (2 pi / L) 挤成一个连续统，求和变成积分，傅里叶系数变成连续函数 F(k)。
这一个思想是信号处理、光学、量子力学和微分方程理论的脊梁。它之所以有效，靠的是一整套结构性规则——线性、平移、伸缩、卷积定理，以及它把求导变成乘以 i k 的本领——这些规则让你能把一个困难问题搬进频率域，在那里用代数解出，再把答案搬回来。一个诚实的注意点：上面写的积分只对衰减（绝对可积）的函数直接收敛；对正弦、阶跃和常数，你必须用分布把定义推广，那时答案里会出现狄拉克 delta。
高斯函数 f(x) = e^{-a x^2} 的傅里叶变换仍是高斯函数：F(k) = sqrt(pi/a) e^{-k^2/(4 a)}。x 中又窄又高的鼓包（a 大）变成 k 中又宽又矮的鼓包，反之亦然。
高斯函数变换成它自己——而 x 中宽度与 k 中宽度的此消彼长正是不确定性原理的种子。
约定各不相同：1/(2 pi) 因子放在哪里、指数里用 k 还是 2 pi i k，因教材和领域而异，所以从一处抄来的公式在另一处可能差一个常数——在相信查表得到的变换之前，务必先核对约定。