导数的傅里叶变换
傅里叶变换为微分方程做的最有用的一件事，就是让微积分消失。求导——那个让方程变难的操作——在变换之下变成了简单地乘以一个数。一个把函数与它的导数联系起来的微分方程，变成了一个你靠相除就能解的代数方程。
规则很短：若 f(x) 的变换是 F(k)，则导数 f'(x) 的变换是 i k F(k)，每多求一次导就再带下来一个因子 i k，所以 n 阶导数变换为 (i k)^n F(k)。其机制是在定义积分里做分部积分：对 e^{-i k x} 求导产生因子 minus i k，只要 f 在无穷远处衰减（使边界项消失），那个因子就落到 F(k) 上。当成图像来读：纯波 e^{i k x} 求导后给出 i k 乘以它自己，所以对波分量而言，变换把求导对角化了——每个频率只是被 i k 缩放。
这就是为什么傅里叶变换能如此干净地解线性常系数常微分方程和偏微分方程。变换整个方程，把每个 d/dx 换成 i k，一个关于 x 的微分方程就变成关于 k 的代数方程，你对它解出 F(k)；再逆变换还原出解。对热方程，时间导数保留，而空间导数变成 minus k^2，给出 F(k, t) = F(k, 0) e^{minus k^2 t}——每个傅里叶模式只是以自己的速率衰减。诚实的条件是：为使边界项消失，f 及其足够多的导数必须在无穷远处趋于零；在带边界条件的有限区间上，则由傅里叶变换的近亲（傅里叶级数、正弦与余弦变换）接手。
全直线上的常微分方程 minus y'' + y = f(x) 变换为 (k^2 + 1) Y(k) = F(k)，于是 Y(k) = F(k)/(k^2 + 1)。微分方程变成了一行除法；对 Y(k) 逆变换（即与 1/(k^2+1) 的变换做卷积）就给出 y(x)。
两次求导变成因子 k^2，把常微分方程坍缩为代数；只有逆变换才需要真正的功夫。
规则 (i k)^n F(k) 默默假定分部积分的边界项消失——这在 f 于无穷远处衰减时成立，但在有界区间上不成立，那里忽略边界贡献会给出错误答案。