卷积定理

拿一张清晰的照片，再拿一份描述透镜如何把一个光点模糊化的说明。模糊后的照片，是把清晰图像的每个点按那种模糊抹开、再把这些抹痕加起来而成的。这种抹开再求和的操作叫卷积，它无处不在：它描述模糊、回声、平滑，以及任何线性时不变系统的输出。卷积定理就是那一个让卷积变得可处理的事实——它把这个别扭的滑动重叠操作变成普通的逐点乘法。

两个函数的卷积是 (f star g)(x) = f(t) g(x minus t) dt 的积分：你把 g 翻转，让它从 f 上滑过，在每个偏移处记录它们重叠的面积。定理说：卷积的傅里叶变换是各自变换的乘积：FT{f star g} = F(k) G(k)。对偶地，乘积的变换是各变换的（带缩放的）卷积。于是滤波——它在时间域中是信号与滤波器冲激响应的卷积——在频率域中就变成只是逐个频率地把信号的频谱乘以滤波器的频率响应。

这就是工程师和物理学家为何生活在频率域里。一个低通滤波器由一个频率响应描述，它在低频处接近 1、高频处接近 0；施加它在那里就是乘法，一目了然，而等价的时间域卷积却是一个你宁可不要手算的积分。这条定理是图像去模糊、音频均衡、用格林函数解微分方程（格林函数正是以卷积方式起作用）的基础——再结合快速傅里叶变换，还是大数和多项式快速相乘的基础。诚实的注意点是：干净的乘积规则假定了变换存在、卷积积分收敛。