傅里叶变换的对偶性

傅里叶正变换与逆变换的积分看起来几乎一样——它们只在指数的符号和一个常数上不同。这种近乎对称带来一个强大的回报：你知道的每一对变换都可以倒过来读，免费给你第二对。这个镜像把戏就是对偶性，它大致把你背下来的任何一张变换表的规模翻了一倍。

具体地说，设 f(x) 的傅里叶变换是 F(k)。对偶性说：如果你现在把函数 F（当作变量 x 的函数）送进变换，你会拿回原来的 f，只是经过翻转和缩放：F(x) 的变换是 2 pi f(minus k)（确切的常数和翻转取决于约定）。理由从公式里一目了然：交换 x 与 k 的角色，就把正变换积分变成了逆变换积分。所以矩形脉冲到 sinc 这一对立刻送给你 sinc 到矩形那一对；而高斯函数，因为是它自己的变换，正是对偶性平凡作用的不动点。

对偶性不只是省力的装置；它是时间域与频率域平起平坐、没有偏好方向的结构性原因。每条定理都成对出现：时间上的平移镜像着频率上的调制，一个域中的求导镜像着另一个域中乘以变量，一个域中的卷积镜像着另一个域中的普通乘法。把变换学透，就意味着学会把任何一条陈述通过这种对称翻过来，认出它的孪生兄弟。