调制性质

调一台调幅收音机，你就在使用这条性质，无论你是否知道。麦克风的音频信号是低频的；为了广播它，电台把它驮在一个高频载波上。调制性质正是这样一条规则：在时间上把信号乘以一个正弦，会把它的整个频谱整体滑动到载波频率附近——这就是基带消息被抬升到可发射频带的方式。

形式上，调制性质是平移性质的镜像。若 f(x) 的变换是 F(k)，则乘以一个复指数 e^{i a x} f(x)，其变换是 F(k minus a)：一个域中乘以一个波，变成另一个域中的平移。对实信号你用余弦来调制，而由于 cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2，频谱分裂成两份副本，一份移到 k = a，一份移到 k = minus a，各为半高。于是一个频谱位于 k = 0 附近的消息，在乘以 cos(a x) 之后，变成那个频谱的两个缩放副本，分别以正负载波频率 a 为中心。

这是每一种调制方案的数学核心——调幅、频率混频、外差接收机、锁相放大器，以及任何收音机里的上变频和下变频。它正是时移定理的对偶（时间上的平移变成频率上的相位；时间上乘以相位变成频率上的平移），所以两者最好作为一对来学。一个实用推论：要恢复原始消息，你再乘以载波一次并做低通滤波，这就是为什么解调看起来像是把调制倒着运行。