狄拉克 delta 的傅里叶变换
/ dee-RAHK /
把鼓很尖锐地敲一下——一个理想化的瞬时冲击。要容纳这样一个突然的尖峰，信号必须由每一个频率同时构成，而且全都同步。狄拉克 delta 的傅里叶变换把这一点说精确了：一个无限集中的冲激，其变换是一个完全平坦的频谱，每个频率都一样多。时间上最尖锐的东西，正是频率上最宽展的东西。
狄拉克 delta，即 delta(x)，不是普通函数——它是一个分布，由它的筛选作用定义：integral of delta(x) g(x) dx = g(0)。把它送进变换积分并用筛选性，得到 FT{delta}(k) = integral of delta(x) e^{-i k x} dx = e^{0} = 1，一个常数。由对偶性（与反演），反过来也成立：常数 1 的变换是 2 pi delta(k)。平移后的冲激 delta(x minus a) 变换为 e^{-i k a}（纯相位，平坦的模），而纯波 e^{i a x} 的变换是 2 pi delta(k minus a)——在波的频率处一根单独的谱峰。正是这最后一对，才让一个经典意义下积分不收敛的正弦也能有傅里叶变换。
这些变换对是傅里叶级数的离散世界与傅里叶变换的连续世界之间的结缔组织。因为一个周期信号是一串纯波之和，它的傅里叶变换就是一列 delta——原先那些离散谱线的连续谱图像。delta 还是卷积的单位元（任何东西与 delta 卷积都原样返回），这正是它代表一个理想的、无失真信道的原因。永远不要忘的一点：delta 是一个分布，是作用于测试函数的一条规则，而不是在每个点上有一个值的函数；只有在那个分布的框架内，把它的变换当作普通积分来处理才说得通。
由于 e^{i a x} 的变换是 2 pi delta(k minus a)，又 cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2，所以 cos(a x) 的变换是 pi[delta(k minus a) + delta(k plus a)]——在正负频率 a 处的两根尖峰，这就是一个纯音的频谱。
一个纯音有一个双尖峰的 delta 频谱——这正是从傅里叶级数的谱线通向连续变换的精确桥梁。
delta 是一个分布，不是函数——它没有逐点的值，而它的变换是一个常数，只有当作它在积分内如何作用于测试函数的陈述时，才有严格意义。