变换方法中的狄拉克 delta

有些输入不是开关而是猛击：锤击、电荷的火花、碰撞——全部集中在一个瞬间。狄拉克 delta 就是这种冲激的理想化模型：一个持续时间为零、总强度为一的输入，无限高、无限窄，却围出面积一。在变换方法里，它是建模突然、瞬时推力的最干净方式。

其定义性质是筛选性质：delta(t - a) g(t) 对 t 的积分 = g(a)。它挑出任意函数在点 a 处的值。它的拉普拉斯变换随之立得：L{delta(t - a)} = e^{-a s}，而原点处的 delta 变换为常数 1。整个输入竟变换成简单的常数 1，这正是冲激成为天然测试信号的原因——给系统输入 1，它的输出就是冲激响应，即传递函数的逆变换。

这里关键的诚实之处是：狄拉克 delta 根本不是一个函数。没有哪个普通函数能在除一点外处处为零、却积分得一。它是一个分布（广义函数），由它在积分中作用于测试函数的方式来定义，严格说来是越来越高、越来越窄的隆起的极限。把它当成真正的函数会导致荒谬；把它当成分布则使一切——包括它的变换 e^{-a s}、以及它作为赫维赛德阶跃之导数的角色——都完全自洽。