传递函数

如果你想用一个公式概括整个线性系统——它如何放大、延迟、滤波或共振——传递函数就是那个概括。它是 s 域里变换后的输出与变换后的输入之比，针对初始静止的系统计算。一个代数表达式就抓住了系统全部的输入输出行为。

形式上，在所有初始条件为零时，你变换微分方程，得到 Y(s) = H(s) X(s)，其中 X(s) 是变换后的输入，Y(s) 是变换后的输出，H(s) = Y(s)/X(s) 就是传递函数。对常系数方程，H(s) 不过是 s 的多项式之比，可由系数直接读出：对 y'' + 2 y' + 5 y = x，H(s) = 1/(s^2 + 2 s + 5)。分母的根是极点，它们在 s 平面上的位置一眼就告诉你系统是回荡、衰减还是增长。

传递函数是冲激响应在 s 域里的孪生——它们是一对拉普拉斯变换，H(s) 与 h(t)。它巨大的实用价值在于把系统的组合变成代数：串联的系统把它们的传递函数相乘，反馈则化为一次简单的有理式重排。极点支配稳定性（全在左半平面意味着衰减、稳定的行为），这正是为什么传递函数是线性系统与控制分析的奠基对象——尽管建在其上的控制理论自成一门学问。